Επίλυση -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x=13$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-52. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=13 b=4$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+17x-52 ως \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-13=0 και -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 51 και το c με -156 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 51 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 2601 και το -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-51±27}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -51 και το 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Διαιρέστε το -24 με το -6.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-51±27}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Διαιρέστε το -78 με το -6.

$$x=13$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=13$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Προσθέστε 156 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Η αφαίρεση του -156 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Αφαιρέστε -156 από 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Διαιρέστε το 51 με το -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Διαιρέστε το 156 με το -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Διαιρέστε το -17, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Προσθέστε το -52 και το \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{17}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=13 x=4$$