Επίλυση -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 5 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 25 και το -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Διαιρέστε το -5+i\sqrt{23} με το -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{23} από -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Διαιρέστε το -5-i\sqrt{23} με το -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Διαιρέστε το 5 με το -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Διαιρέστε το 4 με το -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{3} και το \frac{25}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Προσθέστε \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$