Επίλυση -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3 με το 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Υπολογίστε \left(x+1\right)\left(x-1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Αφαιρέστε 1 από 3 για να λάβετε 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Συνδυάστε το -6x και το -5x για να λάβετε -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Αφαιρέστε 10 από 2 για να λάβετε -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από -8 για να λάβετε -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -11 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Υψώστε το -11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Προσθέστε το 121 και το 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -11 είναι 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 11 και το \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{157} από 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -3 με το 2x-1.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Υπολογίστε \left(x+1\right)\left(x-1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Αφαιρέστε 1 από 3 για να λάβετε 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το x+2.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Συνδυάστε το -6x και το -5x για να λάβετε -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Αφαιρέστε 10 από 2 για να λάβετε -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Προσθέστε 1 και 8 για να λάβετε 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 9 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Παραγον x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$