Επίλυση -2x^2=7x-15

$$- 2 x ^ { 2 } = 7 x - 15$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-7x=-15$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-7x+15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=-2\times 15=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=3 b=-10$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}-7x+15 ως \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(-x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και -x-5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-7x=-15$$

Προσθήκη 15 και στις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-7x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με -7 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 49 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-2\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{7±13}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 13.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Διαιρέστε το 20 με το -4.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±13}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-7x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}-7x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-2}\right)x=-\frac{15}{-2}$$

Διαιρέστε το -7 με το -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{15}{-2}$$

Διαιρέστε το -15 με το -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το \frac{15}{2} και το \frac{49}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$