Επίλυση -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=16 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+13x+24 ως \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+8=0 και 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 13 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 169 και το 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±19}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±19}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Διαιρέστε το -32 με το -4.

$$x=8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Η αφαίρεση του 24 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Διαιρέστε το 13 με το -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Διαιρέστε το -24 με το -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Προσθέστε το 12 και το \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Προσθέστε \frac{13}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$