Επίλυση -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε την ανισότητα με -1 για να γίνει ο συντελεστής στην υψηλότερη δύναμη του -2x^{2}+12x-14 θετικός. Δεδομένου ότι το -1 είναι <0, η κατεύθυνση της ανισότητας αλλάζει.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 2 για a, -12 για b και 14 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\left(\sqrt{2}+3\right) και x-\left(3-\sqrt{2}\right) πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(\sqrt{2}+3\right) είναι θετικό και το x-\left(3-\sqrt{2}\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(3-\sqrt{2}\right) είναι θετικό και το x-\left(\sqrt{2}+3\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$