Επίλυση -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Παράγοντας

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 6.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Υπολογίστε -3a^{2}-17a+28. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3a^{2}+pa+qa+28. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το p+q είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -17.

$$p=4 q=-21$$

Γράψτε πάλι το -3a^{2}-17a+28 ως \left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

Παραγοντοποιήστε -a στο πρώτο και στο -7 της δεύτερης ομάδας.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3a-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Υψώστε το -102 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 72 επί 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Προσθέστε το 10404 και το 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -102 είναι 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{102±150}{-36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 102 και το 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Διαιρέστε το 252 με το -36.

$$a=-7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{102±150}{-36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 150 από 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-48}{-36} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$a=\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -7 με το x_{1} και το \frac{4}{3} με το x_{2}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε -18 και 3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Υπολογισμός

$$168-102a-18a^{2}$$