Επίλυση -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Παράγοντας

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Υπολογίστε -4t^{2}+24t-27. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4t^{2}+at+bt-27. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 24.

$$a=18 b=6$$

Γράψτε πάλι το -4t^{2}+24t-27 ως \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Παραγοντοποιήστε -2t στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2t-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 96 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 9216 και το -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-96±48}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -96 και το 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-48}{-32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-96±48}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 48 από -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-144}{-32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{2} με το x_{1} και το \frac{9}{2} με το x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{3}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Αφαιρέστε t από \frac{9}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{-2t+3}{-2} επί \frac{-2t+9}{-2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -2 επί -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε -16 και 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Υπολογισμός

$$-16t^{2}+96t-108$$