Επίλυση -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Λύση ως προς t

$$t=1$$

$$t=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 128 και από τις δύο πλευρές.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Αφαιρέστε 128 από 80 για να λάβετε -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -t^{2}+at+bt-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=3 b=1$$

Γράψτε πάλι το -t^{2}+4t-3 ως \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -t στην εξίσωση -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο t-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε t-3=0 και -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Αφαιρέστε 128 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Η αφαίρεση του 128 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Αφαιρέστε 128 από 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -16, το b με 64 και το c με -48 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 64 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 4096 και το -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-64±32}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -64 και το 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Διαιρέστε το -32 με το -32.

$$t=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-64±32}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 32 από -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Διαιρέστε το -96 με το -32.

$$t=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$t=1 t=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Αφαιρέστε 80 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Η αφαίρεση του 80 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Αφαιρέστε 80 από 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Η διαίρεση με το -16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Διαιρέστε το 64 με το -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Διαιρέστε το 48 με το -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Προσθέστε το -3 και το 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Παραγον t^{2}-4t+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$t=3 t=1$$