Επίλυση -x^2+4x+480=0

$$- { x }^{ 2 } +4x+480=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-20$$

$$x=24$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+480. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=-480=-480$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -480.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=24 b=-20$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+4x+480 ως \left(-x^{2}+24x\right)+\left(-20x+480\right).

$$\left(-x^{2}+24x\right)+\left(-20x+480\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -20 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-24\right)-20\left(x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-24 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-24\right)\left(-x-20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-24=0 και -x-20=0.

$$x=24 x=-20$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+4x+480=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 4 και το c με 480 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 480}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 480.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-4±44}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±44}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 44.

$$x=\frac{40}{-2}$$

Διαιρέστε το 40 με το -2.

$$x=-20$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±44}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 44 από -4.

$$x=-\frac{48}{-2}$$

Διαιρέστε το -48 με το -2.

$$x=24$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-20 x=24$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x+480=0$$

Αφαιρέστε 480 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x^{2}+4x+480-480=-480$$

Η αφαίρεση του 480 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-x^{2}+4x=-480$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{480}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{480}{-1}$$

Διαιρέστε το 4 με το -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{480}{-1}$$

Διαιρέστε το -480 με το -1.

$$x^{2}-4x=480$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=480+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=480+4$$

Προσθέστε το 480 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=484$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=484$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{484}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=22 x-2=-22$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=24 x=-20$$