Επίλυση (x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)=0

$$(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{7}\approx -0,142857143$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+\left(x-1\right)\left(5x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 5x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+5x^{2}-7x+2=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+x-3-7x+2=0$$

Συνδυάστε το x και το -7x για να λάβετε -6x.

$$7x^{2}-6x-3+2=0$$

Προσθέστε -3 και 2 για να λάβετε -1.

$$7x^{2}-6x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=7\left(-1\right)=-7$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-7 b=1$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}-6x-1 ως \left(7x^{2}-7x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 7x στην εξίσωση 7x^{2}-7x.

$$7x\left(x-1\right)+x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 7x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+\left(x-1\right)\left(5x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 5x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+5x^{2}-7x+2=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+x-3-7x+2=0$$

Συνδυάστε το x και το -7x για να λάβετε -6x.

$$7x^{2}-6x-3+2=0$$

Προσθέστε -3 και 2 για να λάβετε -1.

$$7x^{2}-6x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με -6 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 7\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 7\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-28\left(-1\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+28}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 36 και το 28.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{64}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±8}{2\times 7}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±8}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{6±8}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±8}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 8.

$$x=\frac{14}{14}$$

Διαιρέστε το 14 με το 14.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±8}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από 6.

$$x=-\frac{2}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{1}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+\left(x-1\right)\left(5x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 5x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+x-3+5x^{2}-7x+2=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+x-3-7x+2=0$$

Συνδυάστε το x και το -7x για να λάβετε -6x.

$$7x^{2}-6x-3+2=0$$

Προσθέστε -3 και 2 για να λάβετε -1.

$$7x^{2}-6x-1=0$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$7x^{2}-6x=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}-6x}{7}=\frac{1}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x=\frac{1}{7}$$

Διαιρέστε το -\frac{6}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(-\frac{3}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{1}{7}+\frac{9}{49}$$

Προσθέστε το \frac{1}{7} και το \frac{9}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}=\frac{16}{49}$$

Παραγον x^{2}-\frac{6}{7}x+\frac{9}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}=\frac{16}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{7}=\frac{4}{7} x-\frac{3}{7}=-\frac{4}{7}$$

Προσθέστε \frac{3}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{1}{7}$$