Επίλυση (x+5)(2-3x)=x(x+5)

$$(x+5)(2-3x)=x(x+5)$$

Λύση ως προς x

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2-3x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Συνδυάστε το -13x και το -5x για να λάβετε -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$-9x-2x^{2}+5=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2x^{2}-9x+5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=-2\times 5=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$1,-10 2,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=1 b=-10$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}-9x+5 ως \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-10x+5\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-10x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(2x-1\right)-5\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και -x-5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-5$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2-3x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Συνδυάστε το -13x και το -5x για να λάβετε -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4x^{2}-18x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με -18 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το -18 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+16\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+160}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 324 και το 160.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{484}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 484.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±22}{2\left(-4\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -18 είναι 18.

$$x=\frac{18±22}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$x=\frac{18±22}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±22}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 18 και το 22.

$$x=\frac{40}{-8}$$

Διαιρέστε το 40 με το -8.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{18±22}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 22 από 18.

$$x=-\frac{4}{-8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{-8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2-3x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Συνδυάστε το -13x και το -5x για να λάβετε -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-18x-4x^{2}=-10$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-18x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4x^{2}-18x}{-4}=-\frac{10}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{-4}\right)x=-\frac{10}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{10}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{9}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{9}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{9}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το \frac{81}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{9}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-5$$