Επίλυση (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x-2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Συνδυάστε το -x και το -x για να λάβετε -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Προσθέστε -3 και 2 για να λάβετε -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 2 για a, -2 για b και -1 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} και x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} είναι θετικό και το x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} είναι αρνητικό.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} είναι θετικό και το x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} είναι αρνητικό.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$