Επίλυση (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Λύση ως προς y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3+\sqrt{29} με το -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{29} από -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3-\sqrt{29} με το -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Διαιρέστε το 3 με το -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Διαιρέστε το -5 με το -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$