Επίλυση (x-7)^2-8=17

$$( x - 7 ) ^ { 2 } - 8 = 17$$

Λύση ως προς x

$$x=12$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Αφαιρέστε 8 από 49 για να λάβετε 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Αφαιρέστε 17 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Αφαιρέστε 17 από 41 για να λάβετε 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-14x+24 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-12 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Αφαιρέστε 8 από 49 για να λάβετε 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Αφαιρέστε 17 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Αφαιρέστε 17 από 41 για να λάβετε 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=1\times 24=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-12 b=-2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-14x+24 ως \left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-12\right)-2\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Αφαιρέστε 8 από 49 για να λάβετε 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Αφαιρέστε 17 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Αφαιρέστε 17 από 41 για να λάβετε 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -14 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 24}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-96}}{2}$$

Προσθέστε το 196 και το -96.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±10}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±10}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 10.

$$x=\frac{24}{2}$$

Διαιρέστε το 24 με το 2.

$$x=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±10}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από 14.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=12 x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Αφαιρέστε 8 από 49 για να λάβετε 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Αφαιρέστε 41 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-14x=17-41$$

Αφαιρέστε 41 από 17 για να λάβετε -24.

$$x^{2}-14x=-24$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Προσθέστε το -24 και το 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Παραγον x^{2}-14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=2$$