Επίλυση (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3x+6 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 12x+48 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 12x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Αφαιρέστε 192 από -24 για να λάβετε -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-72. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -360.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-20 b=18$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-2x-72 ως \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right).

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην πρώτη και το 18 στη δεύτερη ομάδα.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-4=0 και 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3x+6 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 12x+48 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 12x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Αφαιρέστε 192 από -24 για να λάβετε -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 15, το b με -6 και το c με -216 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 36 και το 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -6 είναι 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±114}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 6 και το 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Διαιρέστε το 120 με το 30.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{6±114}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 114 από 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-108}{30} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 3x+6 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 12x+48 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 12x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Αφαιρέστε 192 από -24 για να λάβετε -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Προσθήκη 216 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$15x^{2}-6x=216$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

Η διαίρεση με το 15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{15} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{216}{15} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Προσθέστε το \frac{72}{5} και το \frac{1}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Προσθέστε \frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$