Επίλυση (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Βήματα λύσης

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -6 για b και 7 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-\left(\sqrt{2}+3\right) και x-\left(3-\sqrt{2}\right) πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(\sqrt{2}+3\right) είναι θετικό και το x-\left(3-\sqrt{2}\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-\left(3-\sqrt{2}\right) είναι θετικό και το x-\left(\sqrt{2}+3\right) είναι αρνητικό.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$