Επίλυση (x-3)^2+5x^2=(2x+1)^2-x-1

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + 5 x ^ { 2 } = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } - x - 1$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+5x^{2}=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1-x-1$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x+1-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-6x+9-4x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-6x+9-3x=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -3x για να λάβετε -9x.

$$2x^{2}-9x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-6 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-9x+9 ως \left(2x^{2}-6x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 2x-3=0.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+5x^{2}=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1-x-1$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x+1-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-6x+9-4x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-6x+9-3x=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -3x για να λάβετε -9x.

$$2x^{2}-9x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -9 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 81 και το -72.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{9±3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±3}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 3.

$$x=\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το 12 με το 4.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±3}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 9.

$$x=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+5x^{2}=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 5x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=\left(2x+1\right)^{2}-x-1$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+4x+1-x-1$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x+1-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$6x^{2}-6x+9=4x^{2}+3x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-6x+9-4x^{2}=3x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9=3x$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-6x+9-3x=0$$

Συνδυάστε το -6x και το -3x για να λάβετε -9x.

$$2x^{2}-9x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x^{2}-9x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{9}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{2} και το \frac{81}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Προσθέστε \frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$