Επίλυση (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Συνδυάστε το -6x και το 8x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Προσθέστε 9 και 16 για να λάβετε 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 25 για να λάβετε 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 2 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 4 και το -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

Διαιρέστε το -2+2i\sqrt{17} με το 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{17} από -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

Διαιρέστε το -2-2i\sqrt{17} με το 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Συνδυάστε το -6x και το 8x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

Προσθέστε 9 και 16 για να λάβετε 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Αφαιρέστε 25 από 16 για να λάβετε -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Διαιρέστε το 2 με το 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{2} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$