Επίλυση (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Λύση ως προς x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Βήματα λύσης

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 1 για a, -4 για b και -3 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Για να είναι το γινόμενο ≥0, τα x-\left(\sqrt{7}+2\right) και x-\left(2-\sqrt{7}\right) πρέπει να είναι και τα δύο ≤0 ή και τα δύο ≥0. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\left(\sqrt{7}+2\right) και x-\left(2-\sqrt{7}\right) είναι και τα δύο ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν τα x-\left(\sqrt{7}+2\right) και x-\left(2-\sqrt{7}\right) είναι και τα δύο ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$