Επίλυση (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}+5x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x και το -5x για να λάβετε -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Προσθέστε -2 και 12 για να λάβετε 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Συνδυάστε το -4x και το -x για να λάβετε -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Προσθέστε 10 και 14 για να λάβετε 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=3 b=-8$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-5x+24 ως \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+3=0 και x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}+5x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x και το -5x για να λάβετε -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Προσθέστε -2 και 12 για να λάβετε 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Συνδυάστε το -4x και το -x για να λάβετε -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Προσθέστε 10 και 14 για να λάβετε 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -5 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 25 και το 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±11}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 11.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Διαιρέστε το 16 με το -2.

$$x=-8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±11}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το -6 με το -2.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-8 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-3 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x^{2}+5x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Συνδυάστε το x και το -5x για να λάβετε -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

Προσθέστε -2 και 12 για να λάβετε 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Συνδυάστε το -4x και το -x για να λάβετε -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

Προσθέστε 10 και 14 για να λάβετε 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Αφαιρέστε 24 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-x^{2}-5x=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το -5 με το -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το -24 με το -1.

$$x^{2}+5x=24$$

Διαιρέστε το 5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 24 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-8$$