Επίλυση (x-1)^2=x(1-x)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = x ( 1 - x )$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=x\left(1-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 1-x.

$$x^{2}-2x+1=x-x^{2}$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το -x για να λάβετε -3x.

$$x^{2}-3x+1=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x+1+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-3x+1 ως \left(2x^{2}-2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 2x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=x\left(1-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 1-x.

$$x^{2}-2x+1=x-x^{2}$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το -x για να λάβετε -3x.

$$x^{2}-3x+1=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x+1+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -3 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 9 και το -8.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±1}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{3±1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±1}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 1.

$$x=\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±1}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=x\left(1-x\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 1-x.

$$x^{2}-2x+1=x-x^{2}$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το -x για να λάβετε -3x.

$$x^{2}-3x+1=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x+1+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x^{2}-3x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{2} και το \frac{9}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$