Επίλυση (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x με το x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+2x+1 ως \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην εξίσωση -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+1=0 και 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x με το x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 2 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±4}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±4}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το -6 με το -6.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x με το x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Διαιρέστε το 2 με το -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Διαιρέστε το -1 με το -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{1}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$