Επίλυση (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Υπολογίστε \left(x-3\right)\left(x+3\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Προσθέστε 5 και 9 για να λάβετε 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Αφαιρέστε 22 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Αφαιρέστε 22 από 14 για να λάβετε -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+2x-8 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$-1,8 -2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-2 b=4$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Υπολογίστε \left(x-3\right)\left(x+3\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Προσθέστε 5 και 9 για να λάβετε 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Αφαιρέστε 22 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Αφαιρέστε 22 από 14 για να λάβετε -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$-1,8 -2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-2 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+2x-8 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Υπολογίστε \left(x-3\right)\left(x+3\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Προσθέστε 5 και 9 για να λάβετε 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Αφαιρέστε 22 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Αφαιρέστε 22 από 14 για να λάβετε -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 2 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Προσθέστε το 4 και το 32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±6}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 6.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±6}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από -2.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το -8 με το 2.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Συνδυάστε το -2x και το 4x για να λάβετε 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Υπολογίστε \left(x-3\right)\left(x+3\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

Προσθέστε 5 και 9 για να λάβετε 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Αφαιρέστε 14 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x=22-14$$

Αφαιρέστε 14 από 22 για να λάβετε 8.

$$x^{2}+2x=8$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Προσθέστε το 8 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-4$$