Επίλυση (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Συνδυάστε το -2x και το 8x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 5 για να λάβετε -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-11. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -55.

$$-1,55 -5,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=-5 b=11$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+6x-11 ως \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Συνδυάστε το -2x και το 8x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 5 για να λάβετε -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 6 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 36 και το 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±16}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±16}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-22}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Συνδυάστε το -2x και το 8x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Αφαιρέστε 5 από 16 για να λάβετε 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{6}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Προσθέστε το \frac{11}{5} και το \frac{9}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$