Επίλυση (x)=2(x-1)^2+1

$$( x ) = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Συνδυάστε το x και το 4x για να λάβετε 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 6.

$$1,6 2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+6=7 2+3=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=3 b=2$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+5x-3 ως \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην εξίσωση -2x^{2}+3x.

$$-x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(-x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και -x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Συνδυάστε το x και το 4x για να λάβετε 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$5x-2x^{2}-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+5x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 5 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 25 και το -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-5±1}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±1}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 1.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το -4 με το -4.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±1}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -5.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x=2\left(x^{2}-2x+1\right)+1$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x^{2}-2x+1.

$$x=2x^{2}-4x+2+1$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$x=2x^{2}-4x+3$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}=-4x+3$$

Προσθήκη 4x και στις δύο πλευρές.

$$x-2x^{2}+4x=3$$

Συνδυάστε το x και το 4x για να λάβετε 5x.

$$5x-2x^{2}=3$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Διαιρέστε το 5 με το -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Διαιρέστε το 3 με το -2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{3}{2} και το \frac{25}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

Προσθέστε \frac{5}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=1$$