Επίλυση (x+5)(2x+7)-(x+5)(x-3)=0

$$( x + 5 ) ( 2 x + 7 ) - ( x + 5 ) ( x - 3 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-10$$

$$x=-5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2x+7 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+2x-15, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -2x για να λάβετε 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Προσθέστε 35 και 15 για να λάβετε 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+15x+50 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=50$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=5 b=10$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x+5\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+5=0 και x+10=0.

$$x=-5 x=-10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2x+7 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+2x-15, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -2x για να λάβετε 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Προσθέστε 35 και 15 για να λάβετε 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+50. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=15 ab=1\times 50=50$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 15.

$$a=5 b=10$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+15x+50 ως \left(x^{2}+5x\right)+\left(10x+50\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(10x+50\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+5\right)+10\left(x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+5\right)\left(x+10\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+5=0 και x+10=0.

$$x=-5 x=-10$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2x+7 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+2x-15, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -2x για να λάβετε 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Προσθέστε 35 και 15 για να λάβετε 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 15 και το c με 50 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 50}}{2}$$

Υψώστε το 15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 50}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 50.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-200}}{2}$$

Προσθέστε το 225 και το -200.

$$x=\frac{-15±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-15±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -15 και το 5.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Διαιρέστε το -10 με το 2.

$$x=-5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-15±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -15.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Διαιρέστε το -20 με το 2.

$$x=-10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-5 x=-10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το 2x+7 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+5 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+17x+35-\left(x^{2}+2x-15\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+2x-15, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}+17x+35-x^{2}-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+17x+35-2x+15=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -2x για να λάβετε 15x.

$$x^{2}+15x+35+15=0$$

Προσθέστε 35 και 15 για να λάβετε 50.

$$x^{2}+15x+50=0$$

Αφαιρέστε 50 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$x^{2}+15x=-50$$

Διαιρέστε το 15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=-50+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=-50+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -50 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{5}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{15}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-5 x=-10$$