Επίλυση (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x με το x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$1,-4 2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=1 b=-4$$

Γράψτε πάλι το -4x^{2}-3x+1 ως \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-1=0 και -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x με το x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με -3 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±5}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Διαιρέστε το 8 με το -8.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±5}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5x με το x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το -3 με το -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το -1 με το -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{9}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$