Επίλυση (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Λύση ως προς v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Αφαιρέστε 2v^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Συνδυάστε το v^{2} και το -2v^{2} για να λάβετε -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Αφαιρέστε 2v και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Συνδυάστε το 8v και το -2v για να λάβετε 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 16 για να λάβετε 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -v^{2}+av+bv+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=7 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -v^{2}+6v+7 ως \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε -v στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο v-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε v-7=0 και -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Αφαιρέστε 2v^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Συνδυάστε το v^{2} και το -2v^{2} για να λάβετε -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Αφαιρέστε 2v και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Συνδυάστε το 8v και το -2v για να λάβετε 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 16 για να λάβετε 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 6 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 36 και το 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-6±8}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$v=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση v=\frac{-6±8}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Διαιρέστε το -14 με το -2.

$$v=7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$v=-1 v=7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Αφαιρέστε 2v^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Συνδυάστε το v^{2} και το -2v^{2} για να λάβετε -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Αφαιρέστε 2v και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Συνδυάστε το 8v και το -2v για να λάβετε 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Αφαιρέστε 16 από 9 για να λάβετε -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Διαιρέστε το 6 με το -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Διαιρέστε το -7 με το -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Προσθέστε το 7 και το 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Παραγον v^{2}-6v+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$v=7 v=-1$$