Επίλυση (8x+3)^2=0

$$( 8 x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{8}=-0,375$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(8x+3\right)^{2}.

$$64x^{2}+48x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 64x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 48.

$$a=24 b=24$$

Γράψτε πάλι το 64x^{2}+48x+9 ως \left(64x^{2}+24x\right)+\left(24x+9\right).

$$\left(64x^{2}+24x\right)+\left(24x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$8x\left(8x+3\right)+3\left(8x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8x+3\right)\left(8x+3\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(8x+3\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 8x+3=0.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(8x+3\right)^{2}.

$$64x^{2}+48x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 64, το b με 48 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Υψώστε το 48 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 64.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το -256 επί 9.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Προσθέστε το 2304 και το -2304.

$$x=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{48}{2\times 64}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 64.

$$x=-\frac{48}{128}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-48}{128} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(8x+3\right)^{2}.

$$64x^{2}+48x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$64x^{2}+48x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 64.

$$\frac{64x^{2}+48x}{64}=-\frac{9}{64}$$

Η διαίρεση με το 64 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 64.

$$x^{2}+\frac{48}{64}x=-\frac{9}{64}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{48}{64} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{9}{64}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{9}{64}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{-9+9}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{64} και το \frac{9}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=0$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{8}=0 x+\frac{3}{8}=0$$

Αφαιρέστε \frac{3}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{3}{8} x=-\frac{3}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=-\frac{3}{8}$$