Επίλυση (76-4x)(8+2x)=1080

$$( 76 - 4 x ) ( 8 + 2 x ) = 1080$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}\approx 7,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}\approx 7,5-1,658312395i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 76-4x με το 8+2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Αφαιρέστε 1080 και από τις δύο πλευρές.

$$608+120x-8x^{2}-1080=0$$

Αφαιρέστε 1080 από 608 για να λάβετε -472.

$$-472+120x-8x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-8x^{2}+120x-472=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -8, το b με 120 και το c με -472 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Υψώστε το 120 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\left(-472\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 32 επί -472.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-15104}}{2\left(-8\right)}$$

Προσθέστε το 14400 και το -15104.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-704}}{2\left(-8\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -704.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -8.

$$x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -120 και το 8i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-120+8\sqrt{11}i}{-16}$$

Διαιρέστε το -120+8i\sqrt{11} με το -16.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-120±8\sqrt{11}i}{-16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i\sqrt{11} από -120.

$$x=\frac{-8\sqrt{11}i-120}{-16}$$

Διαιρέστε το -120-8i\sqrt{11} με το -16.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2} x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 76-4x με το 8+2x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$608+120x-8x^{2}=1080$$

Αφαιρέστε 608 και από τις δύο πλευρές.

$$120x-8x^{2}=1080-608$$

Αφαιρέστε 608 από 1080 για να λάβετε 472.

$$120x-8x^{2}=472$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=472$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=\frac{472}{-8}$$

Η διαίρεση με το -8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=\frac{472}{-8}$$

Διαιρέστε το 120 με το -8.

$$x^{2}-15x=\frac{472}{-8}$$

Διαιρέστε το 472 με το -8.

$$x^{2}-15x=-59$$

Διαιρέστε το -15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-59+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-59+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το -59 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{11}{4}$$

Παραγον x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Προσθέστε \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i+15}{2}$$