Επίλυση (7m-1)^2-100=0

$$( 7 m - 1 ) ^ { 2 } - 100 = 0$$

Λύση ως προς m

$$m = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1,571428571$$

$$m = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Αφαιρέστε 100 από 1 για να λάβετε -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 49m^{2}+am+bm-99. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=49\left(-99\right)=-4851$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4851.

$$1,-4851 3,-1617 7,-693 9,-539 11,-441 21,-231 33,-147 49,-99 63,-77$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4851=-4850 3-1617=-1614 7-693=-686 9-539=-530 11-441=-430 21-231=-210 33-147=-114 49-99=-50 63-77=-14$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-77 b=63$$

Γράψτε πάλι το 49m^{2}-14m-99 ως \left(49m^{2}-77m\right)+\left(63m-99\right).

$$\left(49m^{2}-77m\right)+\left(63m-99\right)$$

Παραγοντοποιήστε 7m στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$7m\left(7m-11\right)+9\left(7m-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7m-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7m-11\right)\left(7m+9\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 7m-11=0 και 7m+9=0.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Αφαιρέστε 100 από 1 για να λάβετε -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 49, το b με -14 και το c με -99 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 49\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 49\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 49.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-196\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το -196 επί -99.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+19404}}{2\times 49}$$

Προσθέστε το 196 και το 19404.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{19600}}{2\times 49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 19600.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±140}{2\times 49}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$m=\frac{14±140}{2\times 49}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 49.

$$m=\frac{14±140}{98}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{14±140}{98} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 140.

$$m=\frac{154}{98}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{154}{98} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$m=\frac{11}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{14±140}{98} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 140 από 14.

$$m=-\frac{126}{98}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-126}{98} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$m=-\frac{9}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Αφαιρέστε 100 από 1 για να λάβετε -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Προσθήκη 99 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$49m^{2}-14m=99$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 49.

$$\frac{49m^{2}-14m}{49}=\frac{99}{49}$$

Η διαίρεση με το 49 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 49.

$$m^{2}+\left(-\frac{14}{49}\right)m=\frac{99}{49}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{49} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 7.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m=\frac{99}{49}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{99}{49}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}=\frac{99+1}{49}$$

Προσθέστε το \frac{99}{49} και το \frac{1}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}=\frac{100}{49}$$

Παραγον m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{100}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(m-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$m-\frac{1}{7}=\frac{10}{7} m-\frac{1}{7}=-\frac{10}{7}$$

Προσθέστε \frac{1}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$