Επίλυση (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Αφαιρέστε 81 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Αφαιρέστε 81 από 16 για να λάβετε -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-13. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -65.

$$1,-65 5,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-13 b=5$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-8x-13 ως \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-13=0 και x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Αφαιρέστε 81 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Αφαιρέστε 81 από 16 για να λάβετε -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -40 και το c με -65 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -40 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 1600 και το 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -40 είναι 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±90}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 40 και το 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{130}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{40±90}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 90 από 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Διαιρέστε το -50 με το 50.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Αφαιρέστε 16 από 81 για να λάβετε 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{65}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Προσθέστε το \frac{13}{5} και το \frac{16}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Προσθέστε \frac{4}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$