Επίλυση (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Υπολογίστε \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Αναπτύξτε το \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x^{2}-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Προσθέστε 4 και 1 για να λάβετε 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Αφαιρέστε 47 και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Αφαιρέστε 47 από 5 για να λάβετε -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -x για να λάβετε -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-2 ως \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Υπολογίστε \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Αναπτύξτε το \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x^{2}-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Προσθέστε 4 και 1 για να λάβετε 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Αφαιρέστε 47 και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Αφαιρέστε 47 από 5 για να λάβετε -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -x για να λάβετε -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 21, το b με -21 και το c με -42 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Υψώστε το -21 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -84 επί -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Προσθέστε το 441 και το 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -21 είναι 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±63}{42} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 21 και το 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Διαιρέστε το 84 με το 42.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{21±63}{42} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 63 από 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Διαιρέστε το -42 με το 42.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Υπολογίστε \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Αναπτύξτε το \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x^{2}-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Προσθέστε 4 και 1 για να λάβετε 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Συνδυάστε το -20x και το -x για να λάβετε -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Αφαιρέστε 5 από 47 για να λάβετε 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Η διαίρεση με το 21 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Διαιρέστε το -21 με το 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Διαιρέστε το 42 με το 21.

$$x^{2}-x=2$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-1$$