Επίλυση (5x-1)^2=16

$$( 5 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 1 για να λάβετε -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$5x^{2}-2x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$1,-15 3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-5 b=3$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-2x-3 ως \left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 5x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 1 για να λάβετε -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -10 και το c με -15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1500}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 100 και το 1500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±40}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±40}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{10±40}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±40}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 40.

$$x=\frac{50}{50}$$

Διαιρέστε το 50 με το 50.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±40}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από 10.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}-10x=16-1$$

Αφαιρέστε 1 από 16 για να λάβετε 15.

$$25x^{2}-10x=15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=\frac{15}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=\frac{15}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{15}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{15}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{3}{5}+\frac{1}{25}$$

Προσθέστε το \frac{3}{5} και το \frac{1}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}$$

Προσθέστε \frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$