Επίλυση (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 49 για να λάβετε 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25x^{2}+ax+bx+33. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 70.

$$a=15 b=55$$

Γράψτε πάλι το 25x^{2}+70x+33 ως \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+3=0 και 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 49 για να λάβετε 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με 70 και το c με 33 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Υψώστε το 70 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 4900 και το -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±40}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -70 και το 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-70±40}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-110}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Αφαιρέστε 49 και από τις δύο πλευρές.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Αφαιρέστε 49 από 16 για να λάβετε -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{70}{25} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Διαιρέστε το \frac{14}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{33}{25} και το \frac{49}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$