Επίλυση (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Υπολογίστε \left(x-1\right)\left(x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Συνδυάστε το 16x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Προσθέστε 1 και 1 για να λάβετε 2.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 15, το b με -8 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το -60 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Προσθέστε το 64 και το -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Διαιρέστε το 8+2i\sqrt{14} με το 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{14} από 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Διαιρέστε το 8-2i\sqrt{14} με το 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Υπολογίστε \left(x-1\right)\left(x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Συνδυάστε το 16x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Αφαιρέστε 1 από -1 για να λάβετε -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Η διαίρεση με το 15 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Διαιρέστε το -\frac{8}{15}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{4}{15}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{4}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{4}{15} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{15} και το \frac{16}{225} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Παραγον x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Προσθέστε \frac{4}{15} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$