Επίλυση (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Συνδυάστε το 48x και το -2x για να λάβετε 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 36 για να λάβετε 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 16x^{2}+ax+bx+33. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 46.

$$a=22 b=24$$

Γράψτε πάλι το 16x^{2}+46x+33 ως \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8x+11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 8x+11=0 και 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Συνδυάστε το 48x και το -2x για να λάβετε 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 36 για να λάβετε 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 16, το b με 46 και το c με 33 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Υψώστε το 46 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το -64 επί 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Προσθέστε το 2116 και το -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-46±2}{32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -46 και το 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-44}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-46±2}{32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-48}{32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Συνδυάστε το 48x και το -2x για να λάβετε 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Αφαιρέστε 36 και από τις δύο πλευρές.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Αφαιρέστε 36 από 3 για να λάβετε -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Η διαίρεση με το 16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{46}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Διαιρέστε το \frac{23}{8}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{23}{16}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{23}{16} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{23}{16} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Προσθέστε το -\frac{33}{16} και το \frac{529}{256} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Παραγον x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Αφαιρέστε \frac{23}{16} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$