Επίλυση (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Λύση ως προς x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 8 και 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Για την αυξήσετε το \frac{x\sqrt{3}}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το 48 επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} και \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 48 και 4 για να λάβετε 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Αναπτύξτε το \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Έκφραση του 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Απαλείψτε το 4 και το 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Συνδυάστε το x^{2}\times 3 και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Αφαιρέστε 624 και από τις δύο πλευρές.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Αφαιρέστε 624 από 192 για να λάβετε -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-108. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 12.

$$a=-6 b=18$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+12x-108 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 18 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 8 και 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Για την αυξήσετε το \frac{x\sqrt{3}}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το 48 επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} και \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 48 και 4 για να λάβετε 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Αναπτύξτε το \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Έκφραση του 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Απαλείψτε το 4 και το 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Συνδυάστε το x^{2}\times 3 και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Αφαιρέστε 624 και από τις δύο πλευρές.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Αφαιρέστε 624 από 192 για να λάβετε -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 48 και το c με -432 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 48 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 2304 και το 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-48±96}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -48 και το 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το 48 με το 8.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-48±96}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 96 από -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Διαιρέστε το -144 με το 8.

$$x=-18$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=-18$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 8 και 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Για την αυξήσετε το \frac{x\sqrt{3}}{2} σε μια δύναμη, αυξήστε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή στη δύναμη και έπειτα κάντε διαίρεση.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Πολλαπλασιάστε το 48 επί \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} και \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 48 και 4 για να λάβετε 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Αναπτύξτε το \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Έκφραση του 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} ως ενιαίου κλάσματος.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Απαλείψτε το 4 και το 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Πολλαπλασιάστε 16 και 3 για να λάβετε 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Συνδυάστε το x^{2}\times 3 και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Αφαιρέστε 192 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Αφαιρέστε 192 από 624 για να λάβετε 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Διαιρέστε το 48 με το 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Διαιρέστε το 432 με το 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Διαιρέστε το 12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Προσθέστε το 108 και το 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Παραγον x^{2}+12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Απλοποιήστε.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=-18$$