Επίλυση (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+6x+9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Συνδυάστε το -24x και το -6x για να λάβετε -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 16 για να λάβετε 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 8x^{2}+ax+bx+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -30.

$$a=-28 b=-2$$

Γράψτε πάλι το 8x^{2}-30x+7 ως \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-7=0 και 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+6x+9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Συνδυάστε το -24x και το -6x για να λάβετε -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 16 για να λάβετε 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με -30 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Υψώστε το -30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 900 και το -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -30 είναι 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{30±26}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 30 και το 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{30±26}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{16} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+6x+9, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Συνδυάστε το -24x και το -6x για να λάβετε -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Αφαιρέστε 9 από 16 για να λάβετε 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Αφαιρέστε 7 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{15}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{8} και το \frac{225}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Προσθέστε \frac{15}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$