Επίλυση (3x-1)(3x+1)-(5x-4)(2x+3)=3

$$( 3 x - 1 ) ( 3 x + 1 ) - ( 5 x - 4 ) ( 2 x + 3 ) = 3$$

Λύση ως προς x

$$x=-8$$

$$x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υπολογίστε \left(3x-1\right)\left(3x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$\left(3x\right)^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x-4 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}-1-\left(10x^{2}+7x-12\right)=3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x^{2}+7x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-1-10x^{2}-7x+12=3$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}-1-7x+12=3$$

Προσθέστε -1 και 12 για να λάβετε 11.

$$-x^{2}+11-7x=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+11-7x-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 11 για να λάβετε 8.

$$-x^{2}+8-7x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-7x+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -7 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 49 και το 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±9}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{7±9}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±9}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 9.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Διαιρέστε το 16 με το -2.

$$x=-8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±9}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από 7.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το -2 με το -2.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-8 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υπολογίστε \left(3x-1\right)\left(3x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$\left(3x\right)^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Αναπτύξτε το \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Υπολογίστε το 3στη δύναμη του 2 και λάβετε 9.

$$9x^{2}-1-\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)=3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x-4 με το 2x+3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x^{2}-1-\left(10x^{2}+7x-12\right)=3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x^{2}+7x-12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$9x^{2}-1-10x^{2}-7x+12=3$$

Συνδυάστε το 9x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}-1-7x+12=3$$

Προσθέστε -1 και 12 για να λάβετε 11.

$$-x^{2}+11-7x=3$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}-7x=3-11$$

Αφαιρέστε 11 από 3 για να λάβετε -8.

$$-x^{2}-7x=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Διαιρέστε το -7 με το -1.

$$x^{2}+7x=-\frac{8}{-1}$$

Διαιρέστε το -8 με το -1.

$$x^{2}+7x=8$$

Διαιρέστε το 7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=8+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το 8 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-8$$