Επίλυση (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Παράγοντας

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -10x^{2}+ax+bx+22. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 51.

$$a=55 b=-4$$

Γράψτε πάλι το -10x^{2}+51x+22 ως \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Παραγοντοποιήστε -5x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-11 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Υψώστε το 51 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 40 επί 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Προσθέστε το 2601 και το 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-51±59}{-20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -51 και το 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{-20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-51±59}{-20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 59 από -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-110}{-20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{5} με το x_{1} και το \frac{11}{2} με το x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{11}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{-5x-2}{-5} επί \frac{-2x+11}{-2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -5 επί -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε -10 και 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Υπολογισμός

$$22+51x-10x^{2}$$