Επίλυση (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Λύση ως προς y

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Συνδυάστε το 4y^{2} και το y^{2} για να λάβετε 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Αφαιρέστε 4 από 9 για να λάβετε 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 12 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 144 και το -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Διαιρέστε το -12+2\sqrt{11} με το 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{11} από -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Διαιρέστε το -12-2\sqrt{11} με το 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Συνδυάστε το 4y^{2} και το y^{2} για να λάβετε 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Αφαιρέστε 9 από 4 για να λάβετε -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Διαιρέστε το -5 με το 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Διαιρέστε το \frac{12}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{6}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{6}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Παραγον y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{6}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$