Επίλυση (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+10x+25, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το -12x και το -10x για να λάβετε -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Προσθήκη 23 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Προσθέστε -16 και 23 για να λάβετε 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -22.

$$a=-21 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-22x+7 ως \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+10x+25, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το -12x και το -10x για να λάβετε -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Προσθήκη 23 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Προσθέστε -16 και 23 για να λάβετε 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -22 και το c με 7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -22 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 484 και το -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -22 είναι 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±20}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 22 και το 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Διαιρέστε το 42 με το 6.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{22±20}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+10x+25, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Συνδυάστε το -12x και το -10x για να λάβετε -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Αφαιρέστε 25 από 9 για να λάβετε -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Προσθέστε -23 και 16 για να λάβετε -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{22}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{3} και το \frac{121}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Προσθέστε \frac{11}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$