Επίλυση (2x-3)^2=8(2x-3)+65

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } = 8 ( 2 x - 3 ) + 65$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Προσθέστε -24 και 65 για να λάβετε 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Συνδυάστε το -12x και το -16x για να λάβετε -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Αφαιρέστε 41 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Αφαιρέστε 41 από 9 για να λάβετε -32.

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}-7x-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$1,-8 2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-8 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-7x-8 ως \left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-8x.

$$x\left(x-8\right)+x-8$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-8\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-8=0 και x+1=0.

$$x=8 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Προσθέστε -24 και 65 για να λάβετε 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Συνδυάστε το -12x και το -16x για να λάβετε -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Αφαιρέστε 41 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-28x+9-41=0$$

Αφαιρέστε 41 από 9 για να λάβετε -32.

$$4x^{2}-28x-32=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -28 και το c με -32 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\left(-32\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -32.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+512}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 784 και το 512.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1296.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±36}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -28 είναι 28.

$$x=\frac{28±36}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{28±36}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±36}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 28 και το 36.

$$x=\frac{64}{8}$$

Διαιρέστε το 64 με το 8.

$$x=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{28±36}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36 από 28.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το -8 με το 8.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=8 x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=8\left(2x-3\right)+65$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 2x-3.

$$4x^{2}-12x+9=16x-24+65$$

Προσθέστε -24 και 65 για να λάβετε 41.

$$4x^{2}-12x+9=16x+41$$

Αφαιρέστε 16x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-12x+9-16x=41$$

Συνδυάστε το -12x και το -16x για να λάβετε -28x.

$$4x^{2}-28x+9=41$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-28x=41-9$$

Αφαιρέστε 9 από 41 για να λάβετε 32.

$$4x^{2}-28x=32$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-28x}{4}=\frac{32}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το -28 με το 4.

$$x^{2}-7x=\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 32 με το 4.

$$x^{2}-7x=8$$

Διαιρέστε το -7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=8+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=8+\frac{49}{4}$$

Προσθέστε το 8 και το \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=8 x=-1$$