Επίλυση (2x-1)^2-169=0

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=7$$

$$x=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 1 για να λάβετε -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}-x-42=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-42. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-7 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-x-42 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 1 για να λάβετε -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -4 και το c με -168 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-168\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το 2688.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2704.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{4±52}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±52}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 52.

$$x=\frac{56}{8}$$

Διαιρέστε το 56 με το 8.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±52}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 52 από 4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το -48 με το 8.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1-169=0$$

Αφαιρέστε 169 από 1 για να λάβετε -168.

$$4x^{2}-4x-168=0$$

Προσθήκη 168 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$4x^{2}-4x=168$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{168}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{168}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$x^{2}-x=\frac{168}{4}$$

Διαιρέστε το 168 με το 4.

$$x^{2}-x=42$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 42 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-6$$