Επίλυση (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Λύση ως προς x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+3 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+40 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το -32x και το 36x για να λάβετε 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Αφαιρέστε 160 από -48 για να λάβετε -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-8 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Αφαιρέστε 2x^{3} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 2x^{3} και το -2x^{3} για να λάβετε 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 32x και στις δύο πλευρές.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 4x και το 32x για να λάβετε 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 8x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 8x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Αφαιρέστε 128 και από τις δύο πλευρές.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Αφαιρέστε 128 από -208 για να λάβετε -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-4 b=7$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+3x-28 ως \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+3 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+40 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το -32x και το 36x για να λάβετε 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Αφαιρέστε 160 από -48 για να λάβετε -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-8 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Αφαιρέστε 2x^{3} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 2x^{3} και το -2x^{3} για να λάβετε 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 32x και στις δύο πλευρές.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 4x και το 32x για να λάβετε 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 8x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 8x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Αφαιρέστε 128 και από τις δύο πλευρές.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Αφαιρέστε 128 από -208 για να λάβετε -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με 36 και το c με -336 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 36 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 1296 και το 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-36±132}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -36 και το 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Διαιρέστε το 96 με το 24.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-36±132}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 132 από -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Διαιρέστε το -168 με το 24.

$$x=-7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+3 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+40 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Συνδυάστε το -32x και το 36x για να λάβετε 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Αφαιρέστε 160 από -48 για να λάβετε -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-8 με το x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Αφαιρέστε 2x^{3} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 2x^{3} και το -2x^{3} για να λάβετε 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 32x και στις δύο πλευρές.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Συνδυάστε το 4x και το 32x για να λάβετε 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Προσθήκη 8x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 8x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Προσθήκη 208 και στις δύο πλευρές.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Προσθέστε 128 και 208 για να λάβετε 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Διαιρέστε το 36 με το 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Διαιρέστε το 336 με το 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 28 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-7$$