Επίλυση (2x+1)^2+(x+2)(x+1)=x+2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ( x + 1 ) = x + 2$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x και το 3x για να λάβετε 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Προσθέστε 1 και 2 για να λάβετε 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Συνδυάστε το 7x και το -x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 3 για να λάβετε 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=5\times 1=5$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=5$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+6x+1 ως \left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 5x^{2}+x.

$$x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+1\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x+1=0 και x+1=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x και το 3x για να λάβετε 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Προσθέστε 1 και 2 για να λάβετε 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Συνδυάστε το 7x και το -x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 3 για να λάβετε 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 6 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 36 και το -20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{16}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-6±4}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-6±4}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±4}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±4}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -6.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το -10 με το 10.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Συνδυάστε το 4x και το 3x για να λάβετε 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

Προσθέστε 1 και 2 για να λάβετε 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Συνδυάστε το 7x και το -x για να λάβετε 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+6x=2-3$$

Αφαιρέστε 3 από 2 για να λάβετε -1.

$$5x^{2}+6x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{6}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{5} και το \frac{9}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{4}{25}$$

Παραγον x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{2}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{2}{5}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{5} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$