Επίλυση (2x+1)^2+(2x+3)^2=34

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 34$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x και το 12x για να λάβετε 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Προσθέστε 1 και 9 για να λάβετε 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Αφαιρέστε 34 και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+16x+10-34=0$$

Αφαιρέστε 34 από 10 για να λάβετε -24.

$$8x^{2}+16x-24=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$x^{2}+2x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-1 b=3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+2x-3 ως \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x και το 12x για να λάβετε 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Προσθέστε 1 και 9 για να λάβετε 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Αφαιρέστε 34 και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+16x+10-34=0$$

Αφαιρέστε 34 από 10 για να λάβετε -24.

$$8x^{2}+16x-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 8, το b με 16 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 8.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το -32 επί -24.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+768}}{2\times 8}$$

Προσθέστε το 256 και το 768.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1024}}{2\times 8}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1024.

$$x=\frac{-16±32}{2\times 8}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 8.

$$x=\frac{-16±32}{16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±32}{16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 32.

$$x=\frac{16}{16}$$

Διαιρέστε το 16 με το 16.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±32}{16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 32 από -16.

$$x=-\frac{48}{16}$$

Διαιρέστε το -48 με το 16.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(2x+3\right)^{2}=34$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 4x^{2} για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1+12x+9=34$$

Συνδυάστε το 4x και το 12x για να λάβετε 16x.

$$8x^{2}+16x+1+9=34$$

Προσθέστε 1 και 9 για να λάβετε 10.

$$8x^{2}+16x+10=34$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+16x=34-10$$

Αφαιρέστε 10 από 34 για να λάβετε 24.

$$8x^{2}+16x=24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 8.

$$\frac{8x^{2}+16x}{8}=\frac{24}{8}$$

Η διαίρεση με το 8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 8.

$$x^{2}+\frac{16}{8}x=\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το 16 με το 8.

$$x^{2}+2x=\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το 24 με το 8.

$$x^{2}+2x=3$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=3+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=3+1$$

Προσθέστε το 3 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=4$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=2 x+1=-2$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-3$$