Επίλυση (1)(3x+2)^2=16

$$( 1 ) ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 4 για να λάβετε -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$3x^{2}+4x-4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=-2 b=6$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+4x-4 ως \left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-2=0 και x+2=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Αφαιρέστε 16 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Αφαιρέστε 16 από 4 για να λάβετε -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με 12 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί -12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 144 και το 432.

$$x=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 576.

$$x=\frac{-12±24}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{-12±24}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±24}{18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 24.

$$x=\frac{12}{18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±24}{18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 24 από -12.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Διαιρέστε το -36 με το 18.

$$x=-2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+12x=16-4$$

Αφαιρέστε 4 από 16 για να λάβετε 12.

$$9x^{2}+12x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{12}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{12}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{2}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$